전기 자기학 수식 정리

전위경도 : 두 점 사이네 그려지는 전위 높이의 변화
\( grad \, V = \nabla \cdot V = \frac{\partial V}{\partial x} i + \frac{\partial V}{\partial y} j + \frac{\partial V}{\partial z} k \)

전계(E) [V/m]
\( E = -grad \, V = - ( \frac{\partial V}{\partial x} i + \frac{\partial V}{\partial y} j + \frac{\partial V}{\partial z} k ) \)

전속밀도 D (전계변위) \( [C/m^2] \):
\( D = \epsilon E = \epsilon_0 \epsilon_s E \)

발산정리 [면적분과 체적적분의 변환에 관한식]
\( N = \int_s \, E \cdot ds = \int_v \, divE \cdot dv \)

\( = \int_v \,\nabla \cdot E dv \) \( = \frac{Q}{\epsilon_0} \) \( = \frac{1}{\epsilon_0} \) \( \int_v \rho_v dv \)
가우스법칙 : 자유공간에서 임의의 폐곡면을 통하여 전계 E의 외부로 나가는 총 선속은 면으로 둘러싸인 총 전하를 \( \epsilon_0 \)로 나눈 것과 같다.

가우스법칙 (Gauss's law) 미분형
\( div \, E = \) \( \frac{\rho_v}{\epsilon_0} \)
\( \to \) \( div \,\epsilon_0 E = \rho_v \)
\( \to \) \( div \,D = \nabla \cdot D = \rho_v \)

포아송방정식
\( \nabla^2 V= - \) \( \frac{\rho_v}{\epsilon_0} \)
포아송방정식 유도 : 가우스법칙 미분형에 전계 E = -grad V를 대입
\( \nabla \cdot E = \nabla \cdot (-\nabla \cdot V ) =\) \( \frac{\rho_v}{\epsilon_0} \)
-(마이너스) 이항하여 정리한면 위 식이 된다.

라플라스 방정식
\( \nabla^2 V= 0 \)